\subsection{能量}
\begin{definition}[][运动积分]
    \textbf{integral of motion}\quad

    在力学系统运动过程中,描述其状态的 \(2s\) 个变量
    \(q_i, \dotq_i \quad (i = 1, 2, \cdots, s)\) 随时间变化.
    但是存在关于这些变量的某些函数, 其值在运动过程中保持恒定, 且仅由初始条件决定, 这样的函数称为运动积分.

    对于具有 \(s\) 个自由度的封闭力学系统, 独立的运动积分数等于 \(2s-1\) .
\end{definition}

从\textbf{时间均匀性/时间平移对称性}导出\textbf{能量守恒定律}。
\begin{proof}
    由时间均匀性，$L$不显含$t$，故
    \begin{equation*}
        \ddt{L}=\pLpqi \dotq_i + \pLpdqi \ddotq_i
    \end{equation*}
    由拉格朗日方程
    \begin{equation*}
        \Leqi
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \ddt{L} = \dotq_i \ddt{}\pLpdqi + \ddt{\dotq_i}\pLpdqi = \ddt{}\left(\pLpdqi\dotq_i\right)
    \end{equation*}
    则
    \begin{equation*}
        \ddt{}\left(\pLpdqi\dotq_i-L\right)=0
    \end{equation*}
    令
    \begin{equation}
        E = \pLpdqi\dotq_i-L
    \end{equation}
    可知$E$在运动过程中保持不变，是一个运动积分，称为系统的\textbf{能量}。
\end{proof}
能量的形式：
\begin{proof}
    \begin{equation*}
        L = T(q,\dotq)-U(q)
    \end{equation*}
    $T$为速度的二阶齐次方程，由欧拉定理，
    \begin{equation*}
        \pLpdqi\dotq_i=\dotq_i\pfp{T}{\dotq_i}=2T
    \end{equation*}
    故
    \begin{equation}
        E = T+U
    \end{equation}
\end{proof}
从\textbf{空间均匀性/空间平移对称性}导出\textbf{动量守恒定律}。

\begin{proof}
    对于任意无穷小位移$\vecep$，拉格朗日方程的变分
    \begin{equation*}
        \delta L = \pLp{\vecr_a}\cdot \delta\vect_a = \vecep\cdot\pLp{\vecr_a}e_a
    \end{equation*}
    对任意的$\vecep$，都有$\delta L=0$，则
    \begin{equation*}
        \pLp{\vecr_a}e_a=0
    \end{equation*}
    由拉格朗日方程
    \begin{equation*}
        \ddt{}\pLp{\vecv_a}e_a = 0
    \end{equation*}
    定义
    \begin{equation}
        \vecP=\pLp{\vecv_a}e_a
    \end{equation}
    $P$也是一个运动积分，称为系统的\textbf{动量}。
\end{proof}

从\textbf{空间各向同性/空间旋转对称性}导出\textbf{动量守恒定律}。
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figure/TheRelationshipBetweenInfinitesimalAnglesAndVectorDiameters20240814120146.jpg}
    \caption{无穷小转角和矢径的关系\label{fig:TheRelationshipBetweenInfinitesimalAnglesAndVectorDiameters20240814120146}}
\end{figure}
\begin{proof}
    考虑无穷小转角$\delta \vecphi$
    \begin{equation*}
        \delta \vecr = \delta \vecphi\times \vecr
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \delta \vecv = \delta \vecphi\times \vecv
    \end{equation*}
    代入拉格朗日方程，并有$\delta L = 0$
    \begin{equation*}
        \delta L = \left(\pLp{\vecr_a}\cdot \vecr_a + \pLp{\vecv_a}\cdot \vecv_a\right)
    \end{equation*}
    用$p$和$\vecphi$改写上述方程
    \begin{equation*}
        \dot{\vecp}_a\cdot (\delta \vecphi\times \vecr_a)+\vecp_a\cdot (\delta \vecphi\times \vecv_a)=0
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
        \delta \vecphi \cdot \ddt{}\vecr_a\times \vecp_a=0.
    \end{equation*}
    定义
    \begin{equation}
        \vecM = \vecr_a\times \vecp_a.
    \end{equation}
    $M$为一个运动积分，称为系统的\textbf{角动量}。
\end{proof}
\begin{note}
    由对称性可以推出守恒律，这是一个很深远的思想。也被称为\textbf{诺特定理(Noether's theorem)}
\end{note}

\subsection{力学相似性}
\begin{definition}[][力学相似性]
    \textbf{mechanical similarity}\quad
    拉格朗日函数乘任意常数不改变运动方程。若势能为坐标的$k$阶齐次方程，那么拉格朗日函数乘任意的$\alpha^k$，
    运动方程保持不变。

    所有质点的坐标改变相同的倍数,意味着变换前后的运动轨迹几何上相似,仅仅是尺寸不同.
    则由运动方程可以得到一系列几何上相似的不同轨迹,并且(不同轨迹上的相应点的)运动时间之比满足关系式
    \begin{equation*}
        \frac{t^\prime}{t}=\left(\frac{\prl}{l}\right)^{1-k/2}
    \end{equation*}
    除此之外，任何力学量都是$(\frac{\prl}{l})$的幂之比。
\end{definition}

开\begin{corollary}[][普勒第三定律]
    \textbf{Puller's third law}\quad
    轨道运动周期的平方与轨道尺寸的立方成正比。
\end{corollary}
\begin{proof}
    牛顿引力与距离成反比，为$k=-1$的齐次函数，则
    \begin{equation*}
        \frac{t^\prime}{t}=\left(\frac{\prl}{l}\right)^{3/2}
    \end{equation*}
\end{proof}

\begin{corollary}[][位力定理]
    \textbf{virial force theorem}\quad
    如果力学系统在有限空间中运动,势能是坐标的$k$阶齐次函数, 则动能和势能的
    时间平均值之间存在着如下关系：
    \begin{equation}
        2\overline{T}=k\overline{U}
    \end{equation}
\end{corollary}
\begin{proof}
    \begin{equation*}
        2T = \ddt{}\vecp_a\cdot \vecr_a-\dot{\vecp}_a\cdot \vecr_a.
    \end{equation*}
    对有限空间，有限时间，第一项对时间的平均为0.则 
    \begin{equation*}
        2\overline{T}=\overline{\vecr_a\cdot \pfp{U}{\vecr_a}}
    \end{equation*}
    利用欧拉定理，得证。
\end{proof}

\begin{note}
    力学相似性在弹性力学，流体力学等连续介质力学中有很重要的应用。
\end{note}